【 高校数学 Ⅱ 】三角関数② 弧度法

弧度法の定義

角の大きさの新しい表し方を導入します。

度数法

これまでは1周を360°と定義し、それを基準に角の大きさを表してきました。

これを「度数法」といいます。
しかし、度数法は慣習的なものであり、使い勝手がよくありません。

弧度法

度数法より扱いやすい表し方を導入します。
ここで役に立つのが、「円の弧の長さ」です。
円の中心角の大きさと弧の長さは比例します。

この性質を利用し、角の大きさを弧の長さで表します。

しかし、ここで１つ問題があります。
弧の長さは半径にも比例します。
そのため角の大きさが同じでも、半径が異なると弧の長さも異なってしまいます。

そこで半径を1と指定し、半径1の円の弧の長さで角の大きさを表すこととします。

この角の表し方を「弧度法」といいます。
単位は「ラジアン」または「弧度」を用いますが、通常、弧度法の単位は省略されます。

例えば半径1，中心角360°（つまり円）の弧の長さは2πであるため、
360° = 2π ラジアン
となります。

代表的な角を度数法と弧度法で表すと、以下のようになります。

特に180° = π は覚えやすいため，頭に入れておくとよいでしょう。

扇形の弧の長さと面積

弧度法を用いて、扇形の弧の長さと面積を与える式を導きます。
考え方は度数法のときと同じです。

半径がr，中心角がθの扇形の弧の長さをl，面積をSとします。

弧の長さ

円（中心角 = 2π）のときの弧の長さは2πrです。
したがって、中心角がθのときの弧の長さlは
l = 2πr × θ/2π = rθ・・・①
となります。

面積

円（中心角 = 2π）のときの面積はπr²です。
したがって、中心角がθのときの面積Sは
S = πr² × θ/2π = r²θ/2・・・②
となります。

また、①，②から
S = rl/2・・・③
が成り立ちます。

①，②，③は公式として覚えるまでもないと思います。

まとめ

• 半径1の円の弧の長さを用いて角の大きさを表す方法を、弧度法という。
• 180° = πラジアンを覚えておくとよい。
• 扇形の弧の長さ、面積は度数法のときと同じ考え方で導き出せる。

問題

問1

次の角を弧度法で表せ。
（1）30°
（2）-300°

問2

次の角を度数法で表せ。
（1）2π/3
（2）-5π/12

問3

次の扇形の弧の長さと面積を求めよ。
半径が7，中心角が2π/5