【共通テスト｜解答・解説】 2022年度 数学ⅠA 第1問［3］

共通テスト 2022年度 数学ⅠA 第1問［3］の解き方を解説します。

手順１：問題文を通して読む

問題を解く前に、問題文を通して読みましょう。

手順２：文脈を理解し、解き方を予想する

問題文の流れを理解し、解き方を予想しましょう。

【予想】
まずは図を描く。

外接円の半径と三角形の辺の長さから、三角比を求める。
→ 正弦定理を使う。
ADは\(AD=ABsin\angle{ABC}\)で求められる。

【予想】

• 外接円の半径が３
• \(2AB+AC=14\)

この２つの条件で、ABの取りうる値の範囲を考える。
ADは（1）を参考に求める。

【予想】

• ABの範囲が決められている。
• ADがABの2次式で表されている。

→ グラフを描けばADの最大値を求められる。

手順３：問題を解く

外接円の半径と三角形の辺の長さから、三角比を求める。
→ 正弦定理を使う。
外接円の半径をrとすると、
\(AC=2rsin\angle{ABC}\)

ゆえに
\(\displaystyle sin\angle{ABC}=\frac{AC}{2r}=\frac{4}{2\times3}=\frac{2}{3}\)　••• ソタ

また、
\(\displaystyle AD=ABsin\angle{ABC}=5\times\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)　••• チツテ

条件１：外接円の半径が３
条件２：\(2AB+AC=14\)
この２つの条件において、ABの取りうる値の範囲を考える。

まず条件１について、外接円の半径が３のため、AB、ACともに直径の６より大きくなれない。

また、当然AB、ACともに０より大きくなければならない。

よって
\(0<AB≦6\)　… ①
かつ
\(0<AC≦6\)　… ②

式②と条件２を合わせる。
\(2AB+AC=14\)より
\(AC=14-2AB\)　… ③
これを式②に代入、変形すると
\(0<AC≦6\)
\(0<14-2AB≦6\)
\(4≦AB<7\)

これと式①より、ABの取りうる値の範囲は
\(4≦AB≦6\)　••• トナ

ADの長さを求める。
（1）でADの長さを求めたため、同じ手順で計算すれば良い。
①正弦定理によりsin∠ABCを求め、②三角比によりADを求める。

外接円の半径をrとすると、正弦定理より
\(AC=2rsin\angle{ABC}\)
ゆえに
\(\displaystyle sin\angle{ABC}=\frac{AC}{2r}\)
この式に\(AC=14-2AB\) と\(r=3\)を代入すると
\(\displaystyle sin\angle{ABC}=\frac{AC}{2r}=\frac{14-2AB}{2\times3}=\frac{7-AB}{3}\)　••• ④

次に三角比の定義より\(AD=ABsin\angle{ABC}\)
これに式④を代入すると、
\(\displaystyle AD=ABsin\angle{ABC}=AB\times\frac{7-AB}{3}=\frac{-1}{3}AB^2+\frac{7}{3}AB\)　•••⑤
••• ニヌネノハ

2次式の最大値を求めるには、グラフを使う。
式⑤を変形すると
\(\begin{eqnarray}
\displaystyle
AD&=&\frac{-1}{3}AB^2+\frac{7}{3}AB \\
&=&-\frac{1}{3}(AB^2-7AB) \\
&=&-\frac{1}{3}\left\{\left(AB-\frac{7}{2}\right)^2-\left(\frac{7}{2}\right)^2\right\} \\
&=&-\frac{1}{3}\left(AB-\frac{7}{2}\right)^2+\frac{49}{12}　••• 式⑥
\end{eqnarray}\)

ゆえに、この2次式のグラフは上に凸、最大点は\(\left(\frac{7}{2}, \frac{49}{12}\right)\)である。

したがって、\(4≦AB≦6\)の範囲では、ADは \(AB=4\)のときに
最大となる。
式⑥に\(AB=4\)を代入すると
\(\displaystyle AD=-\frac{1}{3}\left(AB-\frac{7}{2}\right)^2+\frac{49}{12}=-\frac{1}{3}\left(4-\frac{7}{2}\right)^2+\frac{49}{12}=4\)　••• ヒ

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