【共通テスト|解答・解説】 2022年度 数学ⅠA 第2問[2]

共通テスト 2022年度 数学ⅠA 第2問[2]の解き方を解説します。

手順1:問題文を通して読む

問題を解く前に、問題文を通して読みましょう。

手順2:文脈を理解し、解き方を予想する

問題文の流れを理解し、解き方を予想しましょう。

【問題文】
(1)

問題ケ〜ス:ヒストグラムの比較

【予想】
ヒストグラムから中央値・四分位数・範囲を求め、比較する。

【問題文】
(2)
2009年度について、「教育機関1機関あたりの学習者数」(横軸)と「教員1人あたりの学習者数」(縦軸)の散布図は(セ)である。

【予想】

図3の箱ひげ図からわかることは最大値・最小値・四分位数・中央値である。

  • 箱ひげ図から求めた最大値・最小値・四分位数・中央値
  • 選択肢の各散布図から求めた最大値・最小値・四分位数・中央値

上の2つを比較し、箱ひげ図と一致する散布図が正解である。

【問題文】
(3)

SとTの相関係数を求めると(ソ).(タチ)である。

【予想】
相関係数は
\(\displaystyle \text{相関係数}=\frac{S\text{と}T\text{の共分散}}{(S\text{の標準偏差})\times(T\text{の標準偏差})}
\)
で求める。

【問題文】
(4)
表1と(3)で求めた相関係数を参考にすると、(3)で算出した2009年度のS(横軸)とT(縦軸)の散布図は(ツ)である。

【予想】
相関係数が判断材料の一つである。
選択肢の散布図を見ると
左右(⓪と①、②と③)で分散の仕方つまり相関係数が異なる。
上下(⓪と②、①と③)で全体の位置つまり平均値が異なる。
よって、相関係数と平均値で判断する。

手順3:問題を解く

【問題文】
(1)

問題ケ〜ス:ヒストグラムの比較

29個のデータについて、小さい順に番号をつけていき中央値と四分位数を求める。

共通テスト_2022年度_数学ⅠA_第2問[2]1

ヒストグラムについて、各階級のデータ数と累積のデータ数を求める。
スペースの都合により、累積のデータ数は上下にずらして記載した。

共通テスト_2022年度_数学ⅠA_第2問[2]2

ヒストグラムの中央値と四分位数が含まれる階級がわかる。
下の図のヒストグラムに、中央値を黒、四分位数を灰色で示した。

共通テスト_2022年度_数学ⅠA_第2問[2]3

このヒストグラムを見ながら問題を解く。
・中央値が含まれる階級の階級値を比較すると、両者は等しい。(選択肢②)••• ケ
・第1四分位数が含まれる階級の階級値を比較すると、両者は等しい。(選択肢②)••• コ
・第3四分位数が含まれる階級の階級値を比較すると、2018年度の方が小さい。
 (選択肢⓪)••• サ

ポイント
ヒストグラムに情報を書き込む。

 

「範囲」は最大値と最小値の差、「四分位範囲」は第3四分位数と第1四分位数の差である。
最大値・最小値・四分位数の階級はわかるが正確な値は不明であるため、「範囲」や「四分位範囲」がとりうる値には範囲が存在する。

「範囲」がとりうる値の範囲を考える。
各階級の区間は左側の数値を含み、右側の数値を含まないため、最小値、最大値がとりうる値の範囲、および範囲の最小値、最大値は以下のようになる。

共通テスト_2022年度_数学ⅠA_第2問[2]4

共通テスト_2022年度_数学ⅠA_第2問[2]5

2009年度の「範囲」は136以上164以下、2018年度の「範囲」は106以上134以下である。
よって、範囲を比較すると、「2018年度の方が小さい。」(選択肢⓪)••• シ

 

「四分位範囲」がとりうる値の範囲を考える。各階級の区間は左側の数値を含み、右側の
数値を含まないため、第1四分位数、第3四分位数がとりうる値の範囲、および四分位範囲の
最小値、最大値は以下のようになる。

共通テスト_2022年度_数学ⅠA_第2問[2]6

 

共通テスト_2022年度_数学ⅠA_第2問[2]7

2009年度の「四分位範囲」は31以上59以下、2018年度の「四分位範囲」は16以上44以下である。
よって、「これら二つのヒストグラムからだけでは両者の大小を判断できない。」(選択肢③)••• ス

【問題文】
(2)
2009年度について、「教育機関1機関あたりの学習者数」(横軸)と「教員1人あたりの学習者数」(縦軸)の散布図は(セ)である。

箱ひげ図から読み取れる情報は、以下の図の通りである。

共通テスト_2022年度_数学ⅠA_第2問[2]8

また、散布図において、値が小さい方から数えていったときの各数値の順番は以下のようになっている。

最小値:1番
第1四分位数:7番目と8番目の平均値
中央値:15番目
第3四分位数:22番目と23番目(上から7番目と8番目)の平均値
最大値:29番目(上から1番目)

 

箱ひげ図の情報と散布図を照らし合わせる。

共通テスト_2022年度_数学ⅠA_第2問[2]9

箱ひげ図から読み取った情報を散布図の上に記載した。
スペースの都合により、以下のように略して書いている。

最小値 → 小
第1四分位数 → 1
中央値 → 中
第3四分位数 → 3
最大値 → 大

また、散布図においてそれぞれの値に該当する点を丸で囲んだ。
箱ひげ図の情報と一致するものは青丸、一致しないものは赤丸で示している。
全てが一致しているのは選択肢②である。••• セ

ポイント
グラフに情報を記入し整理する。

 

【問題文】
(3)

SとTの相関係数を求めると(ソ).(タチ)である。

SとTの相関係数は\(\displaystyle \frac{SとTの共分散}{(Sの標準偏差)\times (Tの標準偏差)} \)で得られる。
\(\displaystyle \frac{735.3}{39.3\times29.9}=\frac{735.3}{1175.07}=0.625≒0.63\) •••ソ,タチ

ポイント
公式を使う。

 

【問題文】
(4)
表1と(3)で求めた相関係数を参考にすると、(3)で算出した2009年度のS(横軸)とT(縦軸)の散布図は(ツ)である。

問題文から、相関係数が判断材料の一つであることがわかる。選択肢⓪〜③のグラフを見ると、左右(⓪と①、②と③)で分散の仕方つまり相関係数が異なる。また、 上下(⓪と②、①と③)で全体の位置つまり平均値が異なる。ゆえに、相関係数と平均値から判断できると考えられる。

以下の図に、広がり方をオレンジの枠で、平均値を青線で示した。

共通テスト_2022年度_数学ⅠA_第2問[2]11

(3)より相関係数は0.63であるから、SとTの間にはやや強い相関がある。ゆえに適する散布図は①か③である。
また、⓪と①の平均値は明らかに分布からずれているため不適である。
よって、最も適当な散布図は③である。… ツ

ポイント
問題文とグラフから判断材料を読み取る → 図に書き込んで整理する。

 

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