【共通テスト｜解答・解説】 2022年度 数学ⅠA 第2問［1］

共通テスト 2022年度 数学ⅠA 第2問［1］の解き方を解説します。

手順１：問題文を通して読む

問題を解く前に、問題文を１つを通して読みましょう。

手順２：文脈を理解し、解き方を予想する

問題文の流れを理解し、解き方を予想しましょう。

【予想】
代入すれば解ける。

【予想】
花子と太郎の会話がヒントになっている。
会話中の”これ以外”とはどのような場合か、（1）を参考に考える。

【予想】
式を変形してグラフを描く。qを変化させて極小点の動きを確認する。

【予想】
（3）のグラフを使う。

第２問の構成をまとめると、以下のようになっている。
（1）具体例
　↓ヒント
（2）qの値を求める。

（3）式をグラフ化したときの動き
　↓ヒント
（4）グラフを動かしたときに、式を満たすxの範囲を求める。

手順３：問題を解く

\(p=4, q=-4\)のとき、式①、②は以下のようになる。
\(x^2+4x-4=0\)　••• ①
\(x^2-4x+4=0\)　••• ②
式①を解くと
\(\displaystyle x = \frac{- 4\pm\sqrt{4^2-4\times1\times(-4)}}{2}= \frac{- 4\pm\sqrt{32}}{2}= \frac{- 4\pm4\sqrt{2}}{2}=- 2\pm2\sqrt{2}\)
式②を解くと
\((x-2)^2=0\) より \(x=2\)
よって、\(n=3\)　••• ア

\(p=1, q=-2\)のとき、式①、②は以下のようになる。
\(x^2+x-2=0\)　••• ①
\(x^2-2x+1=0\)　••• ②
式①を解くと
\((x+2)(x-1)=0\) より \(x=-2,\,1\)
式②を解くと
\((x-1)^2=0\) より \(x=1\)
よって、\(n=2\)　••• イ

点線の四角で囲まれたヒントにしたがう。
式①と②をともに満たす実数をaとすると、
\(a^2-6a+q=0\)　••• ①
\(a^2+qa-6=0\)　••• ②
が成り立つ。①−②により\(a^2\)を消去すると、
\((-6-q)a+(q+6)=0\)
これを変形すると
\((-a+1)(q+6)=0\)
ゆえに \(a=1\) または \(q=-6\) のとき、\(n=3\)となる可能性がある。

\(a=1\) の場合、式①より
\(1^2-6\times1+q=0\)
これを解くと
\(q=5\)
このとき、式①は
\(x^2-6x+5=0\)
であり、これを解くと
\((x-1)(x-5)=0\)より\(x=1,\,5\)
また、式②は
\(x^2+5x-6=0\)
であり、これを解くと
\((x+6)(x-1)=0\) より \(x=-6,\,1\)
となり、確かに\(n=3\)となっている。

また、\(q=-6\)の場合、式①と②ともに
\(x^2-6x-6=0\)
となる。この解は
\(\displaystyle x = \frac{6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times6}}{2}= \frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}\)
となり、\(n=2\)であるため不適である。

\(q=5\) 以外に\(n=3\)となる場合を考える。
（1）を参考にすると、\(p=4, \,q=-4\)のとき、式②に重解が存在するため\(n=3\) であった。
また、\(p=1, \,q=-2\)のとき、式②に重解が存在し、かつ式①と②に共通の解が存在するため、\(n=2\)であった。

これらから、以下の場合に\(n=3\)となることがわかる。

式①の解をs1, s2、式②の解をt1, t2とすると、
● パターンA
式①の解：s1, s2
式②の解：t1, t2
\(s_1=t_1\)
つまり、式①と②で同じ解が１つ存在し、かつ式①と②が重解を持たない場合

● パターンB
式①の解：\(s_1 = s_2 \)
式②の解：t1, t2
または　
式①の解：s1, s2
式②の解：\(t_1 = t_2 \)
つまり、式①または②が重解を持ち、かつ式①と②で同じ解が存在しない場合

パターンAでは既に \(q=5\) と求められているため、パターンBについて考える。
式①が重解を持つ場合、判別式が０であるため
\((-6)^2-4\times1\times q=0\) より \(q=9\)
このとき、式①は \(x^2-6x+9=0\) であり、これを解くと \((x-3)^2=0\) より\(x=3\)
また式②は \(x^2+9x-6=0\) であり、これを解くと\(\displaystyle x = \frac{-9\pm\sqrt{9^2-4\times1\times(-6)}}{2}= \frac{-9\pm\sqrt{105}}{2}\)
確かに\(n=3\)となる。

また、式②が重解を持つ場合、判別式が０であるため\(q^2-4\times(-6)=0\) つまり \(q^2+24=0\) となるが、これを満たす実数は存在しない。
よって、\(n=3\)となるqの値は\(q=5, 9\) ••• ウエ

式③と④を変形し、極小点の動きを確かめる。
式③を変形すると
\(y=x^2-6x+q=(x-3)^2+q-9\)
ゆえに、③のグラフの極小点は \((3,\,q-9)\) である。

qの値を１から増加させると、極小点のx座標は一定でありy座標は増加する。
よって、グラフ全体は上方に動く。（選択肢⑥）••• オ

式④を変形すると
\(\displaystyle y=x^2+qx-6=\left(x+\frac{q}{2}\right)^2-\frac{q^2}{4}-6\)
ゆえに、④のグラフの極小点は\(\displaystyle \left(-\frac{q}{2},\,\frac{q^2}{4}-6\right)\)である。

qの値を１から増加させると、極小点のx座標もy座標も減少する。
よって、グラフ全体は左下方に動く。（選択肢①）••• カ

2次式の範囲が与えられた場合、グラフで考える。
（3）からも、グラフを用いることが予想できる。

また、具体的な数値を入れてみて情報を得る。
\(5<q<9\) であるため、\(q=5,\,q=9\) の場合をそれぞれグラフ化する。
（2）の考察から、式③と④のグラフは以下のようになる。

ゆえに、部分集合A、Bは以下の通りである。

また（3）の考察より、qが増加すると③のグラフは上方、④のグラフは左下方に動く。

ゆえに、部分集合AとBが重なることはない。

設問「\(x\in{A}\)は、\(x\in{B}\)であるための（キ）」について考える。
「\(x\in{A}\)」と「\(x\in{B}\)」の関係について考えると、「\(x\in{A}\)ならば\(x\in{B}\)」も
「\(x\in{B}\)ならば\(x\in{A}\)」も偽である。
よって、\(x\in{A}\)は、\(x\in{B}\)であるための必要条件でも十分条件でもない。（選択肢③）••• キ

設問「\(x\in{B}\)は、\(x\in\overline{A}\)であるための（ク）」について考える。

「\(x\in{B}\)」と「\(x\in\overline{A}\)」の関係について考えると、
「\(x\in{B}\)ならば\(x\in\overline{A}\)」は真であり、
「\(x\in\overline{A}\)ならば\(x\in{B}\)」は偽である。
よって、\(x\in{B}\)は、\(x\in\overline{A}\)であるための十分条件であるが、必要条件ではない。（選択肢①）…ク

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